NILAI MUTLAK KELAS 10

PENGERTIAN NILAI MUTLAK

Nilai Mutlak adalah nilai absolut dari suatu bilangan real x, ditulis sebagai |x|, adalah nilai dari x tanpa disertai oleh tanda. Dengan kata lain, |x| = x jika x adalah bilangan positif dan |x| = −x jika x adalah bilangan negatif.

Sifat Persamaan Nilai Mutlak

1. │f(x)│ = p ↔ f(x) = p atau f(x) = – p, 

2. │f(x)│=│g(x)│↔ f(x) = g(x) atau f(x) = – g(x), │f(x)│ = │g (x) │ ↔ │f(x)│²  = │g(x)│² ↔ [f(x) +g(x)] [f(x) – g(x)] = 0, 

3. a │f(x)│ + b │g(x) │ + c = 0, solusinya cek setiap interval yang sesuai definisi │f(x)│ dan │g(x)│. 

4. a │f(x)│² + b │f(x) │ + c = 0, dimisalkan f(x) = L dan persamaannya menjadi a L² + b L + c = 0 dan L1 dan L2 akar persamaan a L² + b L + c = 0 dan solusi persamaannya f(x) = L1 atau f(x) = L2

 Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak

1. Jika p ≥ 0 │f(x)│ = p ↔ f(x) = p atau f(x) = – p, 

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari  2|3x – 8| = 10

2 |3x – 8| = 10   |3x – 8| = 5

    (3x – 8) = 5  atau (3x – 8) = – 5

       3x – 8 = 5  atau   3x – 8 = – 5   

             3x = 13 atau        3x = 3 

               x = 𝟒 𝟏/𝟑   atau          x = 1    jadi Hp {1, 𝟒 𝟏/𝟑 }

 2 |3x – 8| = 10 → |3x – 8| = 5 →  √(𝟑𝒙−𝟖)²  

= 5  → (3x – 8)² = 5²   

  9x² - 48x + 64 = 25

  9x² – 48x + 39 = 0

  3x² – 16x + 13 = 0

  (3x – 3)(3x – 13) = 0

  x = 1 dan x = 𝟒 𝟏/𝟑 jadi Hp {1, 𝟒 𝟏/𝟑 }                                                                                 

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari  │x² + 2x – 3│ = 3

    → x² + 2x – 3 = 3 atau x² + 2x – 3 = – 3

         x² + 2x – 6 = 0 atau x² + 2x = 0

   Rumus abc:  𝑥_1,2 = −2±√2²−4(1)(−6) / 2(1)  atau x(x + 2) = 0

          x = −1+√7 dan x = −1−√7   atau  x = 0 dan x =  – 2 

Jadi Hp {−1−√7  , – 2, 0, −1+√7 }

Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Absolut)

Pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.

 Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. │f(x)│ < p ↔ – p < f(x) < p,

2. │f(x)│ ≤ p ↔ – p ≤ f(x) ≤ p,

3. │f(x)│ > p ↔ f(x) > p atau f(x) < – p,

4. │f(x)│ ≥ p ↔ f(x) ≥ p atau f(x) ≤ – p,

5. │f(x)│< │g (x) │ ↔ │f(x)│2  < │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] < 0, 

6. │f(x)│ ≤ │g (x) │ ↔ │f(x)│2  ≤ │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] ≤ 0,

7. │f(x)│ > │g (x) │ ↔ │f(x)│2  > │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] > 0,

8. │f(x)│ ≥ │g (x) │ ↔ │f(x)│2  ≥ │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] ≥ 0,

9. | f(x) | / | g(x) | < a ↔ | f(x) | < a | g(x) | ,

10. a │f(x)│ + b │g(x) │ + c ≥ 0

11. a │f(x)│2 + b │f(x) │ + c > 0 misalkan f(x) = L maka pertidaksamaannya menjadi a L2 + b L + c > 0 diperoleh L atau diperoleh L 1 < │f(x)│ < L 2 .

12. a │f(x)│2 + b │f(x) │ + c ≤ 0 misalkan f(x) = L │f(x)│ = y sehingga persamaannya menjadi ay2 + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh │f(x)│ < y1 atau │f(x)│ > y2

 Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. │f(x)│ < p ↔ – p < f(x) < p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 9 |< 2 

maka −2 < x – 9 < 2 → 7 < x < 11 jadi Hp { 7 < x < 11} 

2. │f(x)│ ≤ p ↔ – p ≤ f(x) ≤ p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │2x + 1│ ≤ – 5 

↔ hasil dari nilai mutlak tidak mungkin negatif maka Hp { } atau himpunan kosong

Tentukan himpunan penyelesaian dari │3x + 2│ ≤ 5 

↔ – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5 → – 7 ≤ 3x ≤ 3 

                                 → −7/3 ≤ 𝑥 ≤ 1 → Hp {−7/3 ≤ 𝑥 ≤ 1}

3. │f(x)│ > p ↔ f(x) > p atau f(x) < – p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │3x + 5)│ > 2 

↔ 3x + 5 > 2 atau 3x + 5 < – 2

     3x > – 3 atau 3x < – 7

     x > – 1 atau x < −7/3 → Hp {x > – 1 atau x < −7/3}

PENGERTIAN NILAI MUTLAK

Nilai Mutlak adalah nilai absolut dari suatu bilangan real x, ditulis sebagai |x|, adalah nilai dari x tanpa disertai oleh tanda. Dengan kata lain, |x| = x jika x adalah bilangan positif dan |x| = −x jika x adalah bilangan negatif.

Sifat Persamaan Nilai Mutlak

1. │f(x)│ = p ↔ f(x) = p atau f(x) = – p, 

2. │f(x)│=│g(x)│↔ f(x) = g(x) atau f(x) = – g(x), │f(x)│ = │g (x) │ ↔ │f(x)│²  = │g(x)│² ↔ [f(x) +g(x)] [f(x) – g(x)] = 0, 

3. a │f(x)│ + b │g(x) │ + c = 0, solusinya cek setiap interval yang sesuai definisi │f(x)│ dan │g(x)│. 

4. a │f(x)│² + b │f(x) │ + c = 0, dimisalkan f(x) = L dan persamaannya menjadi a L² + b L + c = 0 dan L1 dan L2 akar persamaan a L² + b L + c = 0 dan solusi persamaannya f(x) = L1 atau f(x) = L2

 Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak

1. Jika p ≥ 0 │f(x)│ = p ↔ f(x) = p atau f(x) = – p, 

a. Tentukan himpunan penyelesaian dari  2|3x – 8| = 10

2 |3x – 8| = 10   |3x – 8| = 5

    (3x – 8) = 5  atau (3x – 8) = – 5

       3x – 8 = 5  atau   3x – 8 = – 5   

             3x = 13 atau        3x = 3 

               x = 𝟒 𝟏/𝟑   atau          x = 1    jadi Hp {1, 𝟒 𝟏/𝟑 }

 2 |3x – 8| = 10 → |3x – 8| = 5 →  √(𝟑𝒙−𝟖)²  

= 5  → (3x – 8)² = 5²   

  9x² - 48x + 64 = 25

  9x² – 48x + 39 = 0

  3x² – 16x + 13 = 0

  (3x – 3)(3x – 13) = 0

  x = 1 dan x = 𝟒 𝟏/𝟑 jadi Hp {1, 𝟒 𝟏/𝟑 }                                                                                 

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari  │x² + 2x – 3│ = 3

    → x² + 2x – 3 = 3 atau x² + 2x – 3 = – 3

         x² + 2x – 6 = 0 atau x² + 2x = 0

   Rumus abc:  𝑥_1,2 = −2±√2²−4(1)(−6) / 2(1)  atau x(x + 2) = 0

          x = −1+√7 dan x = −1−√7   atau  x = 0 dan x =  – 2 

Jadi Hp {−1−√7  , – 2, 0, −1+√7 }

Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Absolut)

Pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya.

 Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. │f(x)│ < p ↔ – p < f(x) < p,

2. │f(x)│ ≤ p ↔ – p ≤ f(x) ≤ p,

3. │f(x)│ > p ↔ f(x) > p atau f(x) < – p,

4. │f(x)│ ≥ p ↔ f(x) ≥ p atau f(x) ≤ – p,

5. │f(x)│< │g (x) │ ↔ │f(x)│2  < │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] < 0, 

6. │f(x)│ ≤ │g (x) │ ↔ │f(x)│2  ≤ │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] ≤ 0,

7. │f(x)│ > │g (x) │ ↔ │f(x)│2  > │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] > 0,

8. │f(x)│ ≥ │g (x) │ ↔ │f(x)│2  ≥ │g(x)│2 ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) – g(x)] ≥ 0,

9. | f(x) | / | g(x) | < a ↔ | f(x) | < a | g(x) | ,

10. a │f(x)│ + b │g(x) │ + c ≥ 0

11. a │f(x)│2 + b │f(x) │ + c > 0 misalkan f(x) = L maka pertidaksamaannya menjadi a L2 + b L + c > 0 diperoleh L atau diperoleh L 1 < │f(x)│ < L 2 .

12. a │f(x)│2 + b │f(x) │ + c ≤ 0 misalkan f(x) = L │f(x)│ = y sehingga persamaannya menjadi ay2 + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh │f(x)│ < y1 atau │f(x)│ > y2

 Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. │f(x)│ < p ↔ – p < f(x) < p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari |x – 9 |< 2 

maka −2 < x – 9 < 2 → 7 < x < 11 jadi Hp { 7 < x < 11} 

2. │f(x)│ ≤ p ↔ – p ≤ f(x) ≤ p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │2x + 1│ ≤ – 5 

↔ hasil dari nilai mutlak tidak mungkin negatif maka Hp { } atau himpunan kosong

Tentukan himpunan penyelesaian dari │3x + 2│ ≤ 5 

↔ – 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5 → – 7 ≤ 3x ≤ 3 

                                 → −7/3 ≤ 𝑥 ≤ 1 → Hp {−7/3 ≤ 𝑥 ≤ 1}

3. │f(x)│ > p ↔ f(x) > p atau f(x) < – p, 

Tentukan himpunan penyelesaian dari │3x + 5)│ > 2 

↔ 3x + 5 > 2 atau 3x + 5 < – 2

     3x > – 3 atau 3x < – 7

     x > – 1 atau x < −7/3 → Hp {x > – 1 atau x < −7/3}