Induksi Matematika

 Nama : Silviany Puteri Aulia

Kelas : XI IPS 2 No. Absen 29

INDUKSI MATEMATIKA

A. Konsep Pembuktian Induksi Matematika

              Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah. Prinsip induksi matematika memiliki efek domino (jika domino disusun berjajar dengan jarak tertentu, saat satu ujung domino dijatuhkan ke arah donimo lain, maka semua domino akan jatuh satu per satu).   

Dengan induksi matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, tetapi bukan untuk menemukan suatu formula atau rumus. Modul ini akan membahas tentang prinsip induksi matematik, metode pembuktiannya, dan penerapan induksi matematika pada pembuktian rumus jumlah barisan (deret), keterbagian, dan ketidaksamaan.   

B. Metode Pembuktian Induksi Matematika

Perlu ditekankan bahwa dengan induksi matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, tetapi bukan untuk menemukan suatu formula atau rumus.

☆Prinsip Induksi Matematika☆

Misalkan P(n) adalah sifat yang didefinisikan untuk suatu bilangan asli n dan misalkan pula a merupakan suatu bilangan asli tertentu. Andaikan dua pernyataan berikut bernilai benar: 

1. P(a) bernilai benar. 

2. Untuk sebarang bilangan asli k > a jika P(k) bernilai benar, maka P(k+1) juga bernilai benar. 

Maka pernyataan untuk sebarang bilangan asli n > a bernilai benar. 

1. Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C”. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Supaya nggak bingung, kita langsung coba buktikan pernyataan ini.

“Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”

Ya... kalau kita pikir-pikir, pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi, gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap? Pembuktiannya begini:

Jadi, pertama kamu definisikan dulu tuh bilangan genap itu seperti apa. Misalnya, ada bilangan genap sembarang m dan n. Dari definisi bilangan genap, m dan n dapat ditulis:

m = 2k, dengan k adalah suatu bilangan bulat.

n = 2i, dengan i adalah suatu bilangan bulat.

Bila definisinya sudah benar, kita ke pernyataan selanjutnya. Karena kita ingin membuktikan jumlah dua bilangan genap, maka berdasarkan definisi di atas, jumlah dua bilangan genap bisa kita jabarkan seperti ini:

m + n = 2k + 2i

Kemudian, kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan. m + n = 2k + 2i bisa kita ubah menjadi 2 (k + i), dengan (k + i) juga bilangan bulat.

m + n = 2k + 2i = 2 (k + i), dengan (k + i) bilangan bulat.   

Setelah itu, lanjut deh ke kesimpulan. Ingat lho, kesimpulannya harus berdasarkan pernyataan sebelumnya. m + n dapat ditulis menjadi 2 kali suatu bilangan bulat (k + i). Sesuai definisi bilangan genap, maka m + n merupakan bilangan genap juga. Apakah pembuktian ini berlaku untuk seluruh bilangan genap? Iya, karena di awal sudah disebutkan kalau m dan n adalah bilangan genap sembarang. Jadi, terbukti, ya.

Kontraposisi

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan prinsip logika matematika, yaitu:

p → q ≡ ∼q → ∼p

Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan aja pernyataan bukan q maka menghasilkan bukan p. Bingung, ya? Nah, untuk memahami lebih lanjut, coba deh buktikan:

“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”

Gimana nih membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya, pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap, dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka, yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Jadi, negasi dari kebalikannya, ya. Penyelesaian lebih lanjutnya begini:

Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi bilangan genap, n dapat dinyatakan sebagai berikut:

n = 2k, dengan k bilangan bulat.

Selanjutnya, karena n = 2k, maka 7n + 9 bisa dituliskan menjadi 7n + 9 = 7(2k) + 9 atau 2 (7k) + 9.

Nah, 7k + 4 sudah pasti merupakan bilangan bulat juga karena di awal, kita memisalkan k adalah bilangan bulat. 7k + 4 bisa dimisalkan dengan m, sehingga:

2(7k) + 9 = 2m + 1, dengan m bilangan bulat.

Sesuai definisi bilangan ganjil, maka 2(7k) + 9 atau 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Terbukti kan bila n bukan bilangan ganjil, maka 7n + 9 juga bukan bilangan genap. Secara nggak langsung, dapat disimpulkan deh bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap maka n bilangan ganjil, hehehe...

 

3. Kontradiksi

Kontradiksi ini juga termasuk pembuktian tidak langsung. Kita memanfaatkan prinsip logika matematika, yaitu:

Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Hmm gimana tuh maksudnya? Coba deh kita buktikan pernyataan ini dengan kontradiksi.

“Bila n bilangan bulat dan n bilangan genap, maka 7n + 9 bilangan ganjil”

Nah, kita misalkan dulu pernyataan p adalah n bilangan genap dan pernyataan q adalah 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Maka, dengan kontradiksi, kita buktikan pernyataan n bukan bilangan genap (bilangan ganjil), maka untuk 7n + 9 adalah bilangan ganjil benar akan muncul suatu kontradiksi. Coba deh perhatikan penyelesaiannya di bawah ini:

Misalkan ada bilangan ganjil sembarang n. Dari definisi bilangan ganjil, n dapat dinyatakan sebagai berikut:

n = 2k + 1, dengan k bilangan bulat.

Karena n = 2k + 1, maka 7n + 9 dapat dituliskan menjadi:

7k + 5 pastinya merupakan bilangan bulat juga karena k adalah bilangan bulat. Kita bisa misalkan 7k + 5 dengan m, sehingga:

7n + 9 = 14k + 10 = 2m

Nah, 14k + 10 atau 7n + 9 dapat dinyatakan dalam 2 kali suatu bilangan bulat. Padahal, itu merupakan definisi bilangan genap. Berarti, kontradiksi dengan asumsi awal yang menyatakan 7n + 9 adalah bilangan ganjil. Itu artinya, asumsi awal n adalah bilangan ganjil, salah.

Baca juga: Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-Sifatnya

Lihat kan, ternyata ada kontradiksi bila n adalah bilangan ganjil? Maka, secara tidak langsung, pernyataan "bila n bilangan genap, maka 7n + 9 bilangan ganjil" benar.

 

4. Induksi Matematika

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli. Untuk melakukan pembuktian menggunakan induksi matematika, ada langkah-langkahnya, nih. Bagaimana langkah-langkah melakukan induksi matematika?

 

Waduh, maksudnya apa tuh ya langkah-langkah di atas. Oke, biar nggak bingung, mending langsung aja kita aplikasikan ke contoh soal di bawah ini.

Buktikan deret 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n+1) 

• Langkah pertama

Kita akan buktikan untuk n = 1 adalah benar. Karena pernyataan tersebut merupakan deret, maka n di sini maksudnya jumlah suku pertama deret tersebut. Nah, yang diminta n = 1, berarti jumlah suku pertamanya hanyalah 1. Kemudian, kita substitusi semua n dengan 1. Jadi,

Langkah pertama terbukti ya karena ruas kiri dan kanannya sama.

• Langkah kedua

Kita asumsikan pernyataan benar untuk n = k. Berarti jumlah suku pertamanya itu dari 1 + 2 + 3 + ... + k, ya. Sehingga,

Pernyataan tersebut kita asumsikan atau kita anggap benar. Kemudian, kita lanjut ke langkah ketiga.

• Langkah ketiga

Buktikan untuk pernyataan n = k + 1 juga benar. Kita bisa membuktikannya menggunakan modal dari langkah kedua. Karena kita mau n = k + 1, maka di ruas kiri, kita tambahkan satu suku, yaitu k + 1. Jadi,

 
Di langkah kedua, kita peroleh 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 (k)(k + 1). Maka,

Selanjutnya, kamu ingat nggak dengan sifat distribusi pada perkalian? Kalau ada (a + b)(c + d), maka bisa menjadi a(c + d) + b(c + d). Nah, di ruas kiri, bisa kita ubah persamaannya menggunakan sifat perkalian distribusi.

Misalnya, a = k, b = 2, dan (c + d) = (k + 1). Berarti,

Karena ruas kiri dan kanannya sudah sama, berarti terbukti kalau untuk deret 1 + 2 + 3 + ... + n nilainya sama dengan 1/2 n(n + 1).

C. Menggunakan Metode Pembuktian Induksi Matematika

Bentuk Penerapan Induksi Matematika

Dalam belajar materi induksi matematika kita harus mengetahui juga penerapan dari induksi matematika. Beberapa penerapan induksi matematika yaitu pada penerapan induksi matematika barisan bilangan, penerapan induksi matematika pada keterbagian, dan penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan (ketaksamaan). Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal dan pembahasan penerapan induksi matematika

Untuk n bilangan asli, x ≠ 1, buktikan dengan induksi matematika bahwa xn – 1 habis dibagi (x – 1).

Pembahasan:

Misalkan P(n) = xn – yn .

Untuk membuktikan P(n) = xn – 1 habis dibagi (x  –  1), artinya P(n) dapat dituliskan sebagai kelipatan x – 1.

Oleh karena itu, akan ditunjukkan P(n) = xn – 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

 

Langkah Awal :

Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – 1 = (x – 1) × 1.

Demikian halnya untuk n = 1 diperoleh bahwa x2 – 1 = (x – 1)(x + 1). Artinya jelas bahwa P(2) = x2 – 1 habis dibagi (x – 1).

 

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka x3 –
•  – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1 ).
• Untuk n = 4, maka x4 – 1= (x – 1)(x3 + x2 + x + 1).
• Untuk n = 5, maka x5 – 1 = (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1).
• Jadi untuk n = k, maka P(k) = xk – 1 = (x – 1)(xk – 1 + 1). Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = xk – 1 habis dibagi x – 1. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = xk – 1 – 1 juga habis dibagi (x – 1).

Contoh soal induksi matematika terdiri dari soal induksi matematika dan pembahasan induksi matematika. Berikut 3 Contoh Soal Induksi Matematika

1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah. Jika n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian sehingga n < p < n + 3.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung :

Misalkan n = 19, maka n + 3 = 22

Ternyata tidak berlaku 19 < p < 22 karena tidak ada bilangan prima antara 19 dan 22.

 

2. Salah satu faktor dari n3 – 1 adalah 1, n bilangan asli.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung:

n3 – 1 = (n – 1)( n2 + n + 1), di mana n = 1.

Jadi terbukti bahwa salah satu faktor dari n3 – 1 adalah 1.

 

3. Diberikan a > 2, buktikan an > 0, n bilangan bulat positif.

Pembahasan Induksi Matematika

Langkah Awal :

Untuk a > 2, sangat jelas bahwa an > 0

Demikian halnya untuk a = 3 diperoleh bahwa 3n > 0. Artinya jelas bahwa P(2) = 32 > 0

 

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka 33 = 27 > 0.
• Untuk n = 4, maka 34 = 81 > 0
• Untuk n = 5, maka 35 = 
• = 273 > 0

Jadi untuk n = k, maka P(k) = 3k > 0.

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = ak – 1 > 0. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = ak – 1 > 0.

Baca juga: Persamaan Nilai Mutlak Linier

Demikianlah materi mengenai induksi matematika, semoga dapat membantu teman-teman dalam mempelajari dan memahami Induksi matematika. Kemudian dapat menerapkan Induksi matematika dalam kehidupan kita.

♤♤Daftar Pustaka♤♤

1. https://tambahpinter.com/induksi-matematika/

2. https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

3. Modul Pembelajaran Matematika Umum kelas Xi