Barisan dan deret

 A. Baris dan Deret Aritmatika

Sebetulnya barisan dan deret terbagi menjadi beberapa macam. Tapi, kali ini gue hanya akan membahas mengenai baris dan deret aritmatika.

Di atas tadi sempat gue singgung sedikit mengenai apa itu barisan. Barisan adalah daftar bilangan yang dituliskan secara berurutan dari kiri ke kanan, di mana ia mempunyai pola atau karakteristik bilangan tertentu. Barisan biasanya disimbolkan dengan Un;

Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;

Kemudian aritmetika adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika. Psstt, inget lho, ejaan yang benar itu ‘aritmetika’, bukan ‘aritmatika’.

Rumus Baris dan Deret Aritmetika

Bentuk Umum Barisan Aritmetika

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 297 dengan Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 298 bilangan asli

Rumus Suku ke-n

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 299

atau

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 300

Keterangan:

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 301 = suku ke-n

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 302 = a = suku pertama

n = jumlah atau banyaknya suku

b = beda atau selisih

Rumus Beda atau Selisih

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 303

Keterangan:

b = beda atau selisih

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 301 = suku ke-n

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 305 = suku sebelum suku ke-n

Rumus Suku Tengah

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 306

atau

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 307

Jika jumlah atau banyak suku dari suatu barisan aritmetika adalah ganjil, maka rumus untuk mencari suku tengahnya adalah sebagai berikut:

Keterangan:

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 308 = suku tengah

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 301 = suku terakhir

a = suku pertama

n = jumlah atau banyaknya suku

Kalau jumlah atau banyak sukunya genap, gimana tuh? Itu berarti barisan aritmetika tersebut nggak ada suku tengahnya, Sob.

Rumus Sisipan

Nah, gimana jadinya kalau elo menyisipkan bilangan dengan jumlah k ke dalam barisan aritmetika yang udah ada? Pastinya hal tersebut akan menyebabkan terbentuknya barisan aritmetika yang baru dan beberapa rumus di bawah ini juga ikut berubah, nih.

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 310

atau

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 311

Keterangan:

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 312 = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika baru

n = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika lama

k = jumlah atau banyaknya bilangan yang disisipkan ke barisan aritmetika lama

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 313 = beda atau selisih barisan aritmetika baru

b = beda atau selisih barisan aritmetika lama

Rumus-Rumus Deret Aritmetika

Bentuk Umum Deret Aritmetika

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 314 dengan Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 298 bilangan asli

Rumus Suku ke-n

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 316

atau

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 317

Keterangan:

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 318 = suku ke-n

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 301 = suku ke-n

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 302 = a = suku pertama

n = jumlah atau banyaknya suku

b = beda atau selisih

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Contoh Soal 1

Terdapat sebuah barisan bilangan seperti berikut 3, 5, 7, 9, …

Berapakah suku ke-30 dari barisan tersebut?

Pembahasan

Diketahui:

a = 3

b = Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 321

= 5-3

= 2

Ditanyakan: U30?

Jawab:

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 322

= 3 + (30-1)2

= 3 + (29)2

= 3 + 58

= 61

Jadi, suku ke-30 dari barisan aritmetika tersebut adalah 61.

Contoh Soal 2

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut: 2, 6, 10, 14, …, 74. Berapa nilai suku tengahnya? Terletak pada suku ke berapa nilai tengah tersebut?

Pembahasan

Diketahui:

1. a = 2

2. b = Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 321

= 6-2

= 4

3. Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 301 = 74

Ditanyakan:

a). Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 308?

b). t suku tengah?

Jawab:

a). Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 308?

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 306

= 1/2(2+74)

= 1/2(76)

= 38

Jadi, nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut adalah adalah 38.

b). t suku tengah?

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 328

74 = 2 + (n-1)4

74 = 2 + 4n-4

74 = 4n – 2

74 +2 = 4n

76 = 4n

76/4 = n

19 = n

Jadi, jumlah atau banyaknya suku ada 18.

t = 1/2(n +1)

t = 1/2(19 +1)

t = 1/2(20)

t = 10.

Maka, suku tengah pada barisan aritmetika tersebut terletak pada suku ke-10.

Contoh Soal 3

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut 20 + 18 + 16, …

Tentukan berapa jumlah 12 suku pertamanya!

Diketahui:

a = 20

b = 2

Ditanyakan: Sn?

Jawab:

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 316

Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 330 = Barisan dan Deret Aritmetika, Rumus Hingga Penerapannya 331 (20 + 20 + (12-1)2))

= 6 (40 + 24 – 2)

= 6 (62)

= 372.

Jadi, jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah 372.

B. Pengertian Barisan dan Deret Geometri

Sama seperti aritmatika, geometri juga terdiri dari barisan dan deret atau kamu biasa menyebutnya sebagai barisan geometri dan deret geometri. Apa perbedaan antara barisan dan deret geometri?

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Contohnya seperti pada pembelahan amoeba, di mana satu amoeba akan membelah diri menjadi dua, dua amoeba akan membelah diri menjadi empat, dan seterusnya. Jika dinyatakan sebagai barisan geometri, akan menjadi 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya. Bilangan 1, 2, 4, 8, …, n disebut sebagai suku atau penyusun barisan. Secara matematis, suku dilambangkan sebagai Un (suku ke-n). Sementara itu, nilai perbandingan antara Un+1 dan Un disebut sebagai rasio. Secara matematis, rasio dilambangkan sebagai r. nilai rasio tidak selalu r > 1, ya. Jika nilai sukunya semakin mengecil, sudah pasti rentang rasionya r < 1. Suku pertama (U1) pada barisan geometri dilambangkan sebagai a.

Pengertian Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Secara matematis, deret geometri dilambangkan sebagai Sn. Contohnya saat kamu diminta untuk menentukan jumlah seluruh amoeba setelah membelah diri 10 kali. Lantas, apa perbedaan deret geometri dan deret aritmatika? Perbedaannya, deret geometri berlaku untuk barisan geometri, sedangkan deret aritmatika berlaku untuk barisan aritmatika. 

Bagaimana Ciri Barisan dan Deret Geometri

Seperti Quipperian ketahui bahwa barisan dan deret itu banyak macamnya. Lantas, apa sih ciri suatu barisan dan deret geometri itu?

Ciri Barisan Geometri

Ciri barisan geometri yang membedakannya dengan barisan aritmatika atau barisan lain adalah perbandingan antarsukunya selalu tetap. Artinya, suku-suku pada barisan ini merupakan kelipatan dari suku-suku sebelumnya. Kelipatan itu sesuai dengan rasionya, bisa lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari 1. Tahukah kamu jika barisan geometri ada yang polanya tanpa batas atau tak hingga lho. Itulah mengapa, barisannya disebut barisan geometri tak hingga. Barisan ini dibagi menjadi dua, yaitu barisan geometri tak hingga konvergen dan divergen. Ciri barisan geometri tak hingga konvergen adalah rasionya berada di antara -1 dan 1 (-1 < r < 1) dan nilainya akan terus mengecil. Sementara itu, ciri barisan geometri tak hingga divergen ini adalah r > 1 dan nilainya akan terus membesar tanpa ada batas tertentu.

Ciri Deret Geometri

Ciri deret geometri adalah suku-suku yang dijumlahkan memiliki perbandingan nilai tetap. Contohnya, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … + … + …, dan seterusnya. 

Rumus Barisan dan Deret Geometri

Rumus barisan geometri biasanya digunakan untuk menentukan suku ke-n dari barisan tersebut. Sementara rumus deret digunakan untuk mencari jumlah n suku tertentu dari barisan geometri. Seperti apa sih rumusnya? 

Rumus Barisan Geometri

Secara matematis, rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.

Dengan ketentuan:

Un = suku ke-n;

a = suku ke-1 atau U1; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.

Setelah kamu tahu rumus untuk mencari suku-n, cobalah hitung berapa jumlah amoeba yang dihasilkan pada pembelahan ke-10? Jumlah awal amoebanya adalah satu, ya.

Mula-mula, kamu harus membuat barisan geometri dari pembelahan amoeba seperti berikut.

1, 2, 4, 8, 16, 31, …, …

Dari barisan di atas, diketahui:

a = U1 = 1

r = 2 : 1 = 2 atau 4 : 2 = 2

n = 10

dengan demikian:

Jadi, banyaknya amoeba di pembelahan ke-10 adalah 512.

Rumus Deret Geometri

Berdasarkan nilai rasionya, deret geometri memiliki beberapa rumus seperti berikut.

Rumus deret geometri untuk r > 1

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

Sn = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U1; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.

Rumus deret geometri untuk r <1 

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

Sn = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U1; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.

Rumus deret geometri tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen adalah jumlah barisan geometri yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus mengecil. Secara matematis, rumus deret geometri tak hingga konvergen adalah sebagai berikut.

Contoh deret geometri tak hingga konvergen adalah saat kamu menjatuhkan bola dari ketinggian tertentu. Semakin lama, ketinggian bola akan berkurang hingga kemudian berenti.

Rumus deret geometri tak hingga divergen

Divergen artinya menyebar, sehingga deret geometri tak hingga divergen adalah jumlah barisan yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus membesar. Oleh karena nilainya yang terus membesar tanpa ada batas tertentu, maka rumus deret geometri tak hingga divergen tidak bisa ditentukan karena S∞ = ∞.

Bagaimana Penerapan Barisan dan Deret Geometri dalam Kehidupan Sehari-Hari?

Penerapan barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut.

Menghitung pembelahan mikoorganisme, misalnya pada reproduksi bakteri.

Menentukan panjang lintasan bola yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu hingga berhenti.

Menghitung pertumbuhan penduduk dan memperkirakan jumlah penduduk di masa mendatang.

Menghitung peluruhan zat radioaktif.

Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri

Untuk mengasah kemampuanmu tentang materi ini, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh Soal Barisan Geometri

Diketahui suatu deret geometri berikut.

Berapakah nilai suku ke-15?

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio dari barisan pada soal.

Dengan demikian, suku ke-15 bisa dicari dengan rumus berikut.

Jadi, suku ke-10 nilainya adalah x16.384.

Contoh Soal Deret Geometri

Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?

Pembahasan:

Diketahui:

U1 = a = 3 cm

U5 = 243

Ditanya: Sn =…?

Jawab:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut menggunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut.

Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1.

Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.

C. Bunga, Pertumbuhan, Peluruhan : Pengertian, Jenis, dan Rumusnya

Pengertian Bunga

Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.

Adapun besarnya bunga dipengaruhi oleh: besarnya jumlah uang yang dipinjam, jangka waktu untuk meminjam, dan tingkat suku bunga / persentase. Bunga dibedakan menjadi 2 jenis, yakni bunga Tunggal dan bunga Majemuk. Berikut uraiannya..

Jenis-jenis Bunga

Berikut ini merupakan jenis-jenis bunga menurut besarnya bunga yang dibayarkan untuk setiap periode:

Bunga Tunggal

Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal ini dihitung menurut modal awal.

Rumus bunga tunggal pada akhir periode;

Rumus besarnya modal pada akhir;

Keterangan:

B = bunga

M0 = modal awal

Mt = modal pada akhir periode – t

t = periode

r = tingkat suku bunga (persentase)

Contoh soal

Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan bunga pinjaman untuk anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukanlah besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!

Jawab:

M0 = Rp. 800.000

r = 2 %

t = 4 bulan

Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:

dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;

lanjut ke…

Bunga majemuk

Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.

Misalkan, Modal Sejumlah M0, akan diberlakukan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (Mt) bisa dihitung dengan cara:

Sehingga, rumus untuk besar modal pada periode ke-t dengan bunga majemuk yaitu;

keterangan;

Mt = modal pada akhir periode – t

M0 = modal awal

i = tingkat suku bunga

t = periode

Contoh soal

Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?

Jawab:

M0 = Rp. 6.000.000

i = 3% = 0,03

t = 12 bulan

Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:

Anuitas

Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

1. Besarnya pinjaman,

2. Besarnya bunga, dan 

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M0 = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:

Besarnya bunga pada periode ke-n;

Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;

dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;

Pertumbuhan

pertumbuhan yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear;

Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!

Jawab;

P0 = 200.000

b = 4% = 0,04

n = 2 jam

Banyaknya bakteri setelah 2 jam;

Pn = P0 (1+b)n

P2 = 200.000 (1 + 0,04)2

P2 = 200.000 (1,0816)

P2 = 216.320 bakteri

Peluruhan

Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear;

Pn = Po (1–nb)

Rumus peluruhan eksponensial;

Pn = Po (1–b)n

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

P0 = 100 gram

b = 3% = 0,03

n = 24/4 =6

Setelah 1 hari, maka ukuran radioaktif tersebut;

Pn = Po (1–b)n

P⁶= 150 (1–0,03)⁶

P⁶ = 150 (0,97)⁶

P⁶ =150 (0,832)

P⁶ = 124,8 gram