Turunan Fungsi Aljabar

 Silviany Puteri Aulia

 XI IPS 2 (30)

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.

Konsep Turunan Fungsi Aljabar

Pada dasarnya, turunan fungsi aljabar merupakan bentuk lain dari suatu limit fungsi yang nilainya mendekati nol. Misalnya saja, seseorang berkendara menggunakan motor dengan kecepatan 60 km/jam. Saat berkendara, apakah orang tersebut bisa mengondisikan untuk tetap berada di kecepatan itu? Tentu tidak, kan? Lalu, apa artinya 60 km/jam? Kecepatan tersebut merupakan kecepatan rata-rata. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Ingat, posisi orang tersebut (s) selalu berubah setiap waktu (t). Artinya, posisi bisa dinyatakan sebagai fungsi waktu (s2 = f(t) ). Nah, t2 merupakan waktu setelah bergerak selama h atau t2 = t1 + h. Jika disubstitusikan ke persamaan kecepatan rata-rata menjadi:

Untuk nilai h yang sangat kecil, h bisa dinyatakan mendekati nol (h → 0). Apa artinya? Jika nilai h mendekati nol, akan berlaku fungsi kecepatan sesaat seperti berikut.

Persamaan di atas merupakan bentuk laju perubahan jarak terhadap waktu atau turunan fungsi jarak terhadap waktu.

Jika diterapkan pada sembarang f(x), akan berlaku laju perubahan f(x) terhadap x atau turunan pertama f(x) terhadap x (f’(x)), sehingga persamaannya menjadi:

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Persamaan turunan yang memuat fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linear atau pangkat 1. Namun, rumus tersebut kurang efektif jika digunakan pada persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomnya lebih dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, kamu bisa menggunakan rumus-rumus berikut.

f(x) = b → f’(x) = 0

Suatu konstanta akan bernilai nol jika diturunkan, contoh f(x) = 15 → f’(x) = 0.

f(x) = bx → f’(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap x, akan menghasilkan 1. Contoh:

f(x) = x → f’(x) = 1

f(x) = 2x → f’(x) = 2

f(x) = 5x – 3 →f’(x) = 5

f(x) = axn → f’(x) = naxn-1

Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi pangkat, ya. Saat menurunkan suatu fungsi, artinya kamu sedang mencari turunan pangkat dari fungsi tersebut atau pangkatnya menjadi lebih kecil. Misal, jika variabel x2 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x. Jika variabel x3 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x2 dan seterusnya. Perhatikan contoh berikut.

f(x) = 6x4 + 2x3 → f’(x) = (4)(6)x3 + (3)(2)x2 

                                        = 24x3 + 6x2

Turunan fungsi aljabar juga bisa dinyatakan dalam bentuk notasi Leibniz seperti berikut.

Bagaimana Quipperian, mudah bukan turunan fungsi aljabar itu?

Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar memiliki sifat-sifat tertentu yang nantinya bisa memudahkanmu dalam menyelesaikan soal-soal. Berikut ini sifat-sifat turunan fungsi aljabar.

Sifat di atas berlaku pada penjumlahan atau pengurangan dua fungsi atau lebih. Perhatikan contoh berikut.

Sifat di atas berlaku untuk turunan hasil kali fungsi, contohnya pada perkalian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.

Sifat di atas berlaku untuk turunan fungsi pembagian, contoh pembagian antara fungsi u(x) dan v(x). Perhatikan contoh berikut.

Perhatikan contoh berikut.

Sifat di atas merupakan aturan rantai turunan fungsi aljabar. Selain menurunkan fungsi yang dipangkatkan, kamu juga harus menurunkan keseluruhan fungsinya.

Contoh Turunan Fungsi Aljabar

Adapun contoh turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut.

Tentukan turunan fungsi aljabar akar berikut.

Pembahasan:

Pada soal di atas, berlaku aturan rantai turunan fungsi aljabar. Apa maksud aturan rantai turunan?

Mula-mula, kamu harus memisalkan 2x3 – 4x sebagai u(x). Dengan demikian, persamaannya menjadi:

Selanjutnya, tentukan hasil turunannya menggunakan sifat nomor 5.

Setelah mencari turunan u, kamu harus mencari turunan f(x).

x = 0 atau x = 4/3

nilai x yang memenuhi = 4/3.

Lalu, substitusikan nilai x = 4/3 ke persamaan g(x).

g(4/3) = – 2(4/3)3 + 4(4/3)2

        = -4,74 + 7,11

        = 2,37

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh UMKM tersebut adalah Rp2.370 per unit.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG TURUNAN

Salah satu aplikasi atau pemanfaatan konsep turunan (diferensial) dalam matematika adalah untuk menentukan gradien dan persamaan garis singgung dari suatu kurva. Kebermanfaatan konsep tersebut tentunya dalam ranah bidang geometri. Konsep turunan dapat dipakai untuk menentukan gradien garis singgung dikarenakan adanya fakta bahwa nilai turunan suatu fungsi pada titik tertentu adalah gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut.

Jadi harus berurutan dari turunan pertama, baru deh bisa ketemu yang kedua. Gini rumusnya:

f(x) = a → fˈ(x) = 0

f(x) = ax → fˈ(x) = a

f(x) = axⁿ → fˈ(x) = n x axⁿˉ¹

Sekarang, yuk coba lihat contohnya:

f(x) = x²+5x+3

fˈ(x) = 2x + 5 Nah, ini turunan pertamanya. 

f”(x) = 2 Dan (2) ini hasilnya.

Jadi, elo bisa ketemu sama turunan yang kedua kalau udah turunin yang pertama dulu. Sederhananya, angka-angka di atas itu elo pindahin ke bawah sampai 2 kali.

Contoh Soal 1

Carilah turunan kedua dari y = x⁴-3x³+x²+5

a. 12x² – 18x + 2x

b. 4x³ – 9x + 5

c. 12x² – 18x + 2

d. 4x² – 9x² + 2

Pembahasan:

Sebelum ketemu sama jawabannya, elo harus cari tahu dulu turunan pertamanya ya.

y = x⁴ – 3x³ + x² + 5

yˈ = 4x² – 9x² + 2x    

y” = 12x² – 18x + 2    

Berdasarkan penjelasannya, jadi turunan keduanya itu 12x² – 18x + 2 dan jawabannya c ya.

Contoh Soal 2

Turunan kedua dari fungsi f(x) = x³ + 2x² adalah…

a. 6x + 2

b. 6x + 4

c. 3x + 2

d. 3x + 4

Pembahasan:

f(x) = x³ + 2x²

fˈ(x) = 3x² + 4x

f”(x) = 6x + 4

Nah, di soal kedua ini lebih sederhana dan gampang. Jawabannya yaitu b.